4. Condiciones de contorno - Problemas de ejemplo: solución 4.3

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Apartado A - Solución

a) Realice un cálculo aproximado de la escala de tiempo, T, en la que el colorante estará uniformemente distribuido en x.

La difusión del colorante inyectado en la pared del extremo (figura superior) será similar a la difusión del tinte inyectado a medio camino entre dos paredes situadas dos veces más lejos (figura inferior). Esto ocurre porque la difusión en ambos sistemas continúa como una función de exp(-x²/4Dt), que es simétrica en torno a x = 0. De acuerdo con esta similitud, es de esperar que el tinte esté bien mezclado en ambos sitemas en la escala de tiempo que ya hemos establecido a partir del sistema inferior. Concretamente, de la ecuación 4.24 aplicada al sistema inferior, T = (2L)²/4D = L²/D = 10⁷ seg.

Apartado B - Solución

b) Confirme su aproximación representando C(x) en los momentos t = T/10, T/4, T/2, T.

Teóricamente, se necesita un número infinito de imágenes para cumplir una condición de contorno con ausencia de flujo en dos límites paralelos. Para simplificar, empezaremos teniendo en cuenta una sola imagen para cada límite. El límite en x = 0 requiere una imagen I1 en x = 0, es decir, situada de forma complementaria a la fuente. El borde en x = L requiere una imagen I2 en x = 2L. El campo de concentración es:

La solución indica que dos imágenes no son suficientes, porque la masa no se conserva en el periodo que nos interesa. La concentración final debería ser de 1 mg/(10 cm³) = 0,1 mg cm^-3, pero la solución anterior da 0,66 mg cm^-3 en t = L²/D. Además, el gradiente de concentración debería ser cero en los límites, dC/dx = 0, para cumplir la condición de ausencia de flujo. Esta condición no se cumple para x = 10. Para comparar, consideremos ahora una solución con seis imágenes, todas designadas por I.

Con seis imágenes la concentración es la correcta en T = L²/D. Para tiempos más largos, la masa acabará por perderse debido al desequilibrio de las imágenes y la concentración descenderá. No obstante, un periodo más largo no nos interesa, porque una vez que el sistema está bien mezclado en x (dC/dx = 0 para todo x), se puede terminar la resolución, ya que no se producirá ninguna evolución más del perfil verdadero. Nótese que la forma del perfil de concentración es similar con 2 y 6 imágenes, y que ambas soluciones indican que se consigue una distribución uniforme en x cuando T = L²/D.

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