Práctica 8: ceros complejos y modos de los sistemas mecánicos.

Descripción de la práctica 8 (PDF)

En esta práctica se vuelve a utilizar el sistema de segundo orden que se empleó en las prácticas 3 y 4. Si se acopla un muelle y una masa adicionales a este sistema de segundo orden se consigue construir un sistema de cuarto orden, tal y como se muestra en las figuras 1 y 2. Al igual que en la práctica 3, el eje de cojinete con collares acoplados, el núcleo del LVDT y la bobina de voz forman una masa concentrada m1. La delgada varilla de resorte se puede modelar como un muelle carente de masa k1. La bobina de voz actúa como fuerza accionadora y como amortiguador c1. La masa adicional m2 está acoplada a este sistema a través de una hoja delgada de aluminio que se puede modelar de forma razonable como un muelle carente de masa k2, con una ligera amortiguación c2. Este modelo se muestra en la figura 3. La bobina de voz ejerce una fuerza Fi en el eje de cojinete m1. El LVDT produce una tensión v1 proporcional a su desplazamiento x1.

Figura 1. Sistema de cuarto orden que consiste en el sistema de segundo orden de la práctica 3 con un muelle y una masa adicionales.

Fijamos R2 = 470 kw; Ra = 1 kw y C = 0,1 m F. Se ajusta R1 para producir una ganancia especificada. Aquí, seleccionamos R1 + R2 >> Ra, de tal forma que se pueda ignorar la carga en la red RaC. Utilizamos el amplificador operacional LM 741m, muy frecuente en este tipo de circuitos. La mayoría de los amplificadores operacionales son integradores bien modelados con una ganancia alta (función de transferencia: a(s) = G/s). Para el 741, G es aproximadamente 6 x 106. Los circuitos de la figura pueden ser modelados en los siguientes diagramas de bloques de la figura 2.

Figura 2. Ilustración del sistema utilizado en esta práctica.

A través del estudio de las respuestas a escalones y de la determinación de las constantes de tiempo, los estudiantes pueden comparar su predicciones sobre el comportamiento del circuito con el comportamiento real de éste. El circuito (a) es básicamente de primer orden. Si se añade un filtro RC dentro del circuito de bucle (b), nos damos cuenta de que se produce una respuesta de entrada-salida de segundo orden con amortiguación insuficiente. Una vez añadido este filtro, se pueden comparar las predicciones sobre las ubicaciones de los polos del circuito (b) con las mediciones. La respuesta real de frecuencia se puede medir fácilmente utilizando el generador de funciones para proporcionar una entrada de onda sinusoidal. Tal y como se describe en la práctica 6, es posible aclarar las diferencias en magnitud y fase entre la entrada y la salida mediante un osciloscopio que muestre tanto la entrada como la salida de la onda sinusoidal. Esto se puede conseguir más fácilmente si el osciloscopio pudiese medir automáticamente la magnitud y la fase, tal y como se muestra en la pantalla.

Figura 3. Entrada y salida de onda sinusoidal que muestra los cambios de fase y de magnitud a una frecuencia determinada.

Una vez desconectada la interfaz dSPACE, se puede emplear un generador de funciones para conducir al sistema hacia una frecuencia regulable. Las frecuencias más interesantes son las dos frecuencias resonantes que corresponden a pares de polos complejos y a la frecuencia de los ceros complejos. En la frecuencia que corresponde al primer par de polos complejos, las dos masas se desplazarán sin mucha diferencia de fase. Esto es aún visible a simple vista, sin necesidad de utilizar un estroboscopio. En la frecuencia de ceros complejos, habrá un lapso de fase de 90 grados de la segunda masa en relación a la primera. Sin embargo, en esta frecuencia la segunda masa actúa como amortiguador de vibraciones, de tal forma que la primera masa apenas experimenta movimiento. En la frecuencia del segundo par de polos complejos, la segunda masa se desplaza en la dirección opuesta a la de la primera. En esta frecuencia, se puede visualizar la función formas (shapes) del sistema utilizando un estroboscopio, tal y como se muestra en la figura 4.

Figura 4. Se puede usar un estroboscopio para visualizar la función formas (shapes) del sistema.

Los estudiantes utilizan un sistema de medición basado en un PC que emplea una interfaz dSPACE para obtener el gráfico de respuesta de frecuencia. Este sistema de medición genera entradas de ondas sinusoidales de distintas frecuencias y mide la salida del sistema a través del sensor LVDT. Nosotros utilizamos un programa escrito en MATLAB que calcula la amplitud y la fase de la función de transferencia del sistema. En las figuras 5 y 6 se muestran unos ejemplos de estas mediciones en forma de puntos rojos.

Figura 5. En el gráfico de arriba se muestra la función de transferencia teórica que relaciona la tensión V1 producida por el LVDT con la tensión V producida por el generador de funciones. El diagrama de Bode correspondiente se muestra debajo (las líneas azules) junto con los valores experimentales (los puntos rojos).

Los valores de las constantes en esta ecuación son los siguientes:

K = 1400
wn1 = 31 rad/s (4,93 Hz), z1 = 0,17
wn2 = 67,4 rad/s (10,7 Hz), z2 = 0,042
wz = 56,01 rad/s (8,91 Hz), zz = 0,001

Evidentemente, existe una diferencia importante entre el sistema real y el teórico. Esta diferencia viene dada por una dinámica no lineal en la bobina de voz. Si se añade un polo a 150 rad/s (24 Hz) para compensar estas no linealidades, la diferencia es mucho menor, tal y como se muestra en la figura 6.

Figura 6. Función de transferencia de la figura 5 con un polo añadido a 150 rad/s (24 Hz) (línea azul) y los valores medidos (puntos rojos).